感谢我的老师。

基本思想是把 $y=kx+b$ 变换成 $\frac{y-kx}{b}=1$ 来代换。

¶ 简单情况

先考虑最简单的情况，平衡位置为 $x=0$，振幅为 $A$，质点质量为 $m$，弹簧劲度系数为 $k$，从平衡位置起振。

由运动学规律得

$$\def\d{\mathrm{d}} \begin{aligned} x(t)&=A\sin\omega t\\ v(t)&=\frac{\d x}{\d t} = A\omega\cos\omega t\\ a(t)&=\frac{\d v}{\d t} = -A\omega^2\sin\omega t\\ \end{aligned}\\$$

¶ 定义

¶ 定义一

$$|F_{1} P|+\left|F_{2} P\right|=2 a\\ \left|F_{1} F_{2}\right|=2 c\\$$

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>b>0)$$

$$\begin{array}{l}{\left|P F_{1}\right|=a+e x} \\ {\left|P F_{2}\right|=a-e x}\end{array}\\$$

¶ 定义二

¶ 定义三

$$d=|AA_1|\\ \frac{|F_2P|}{d}=e<1$$

$$通径 |CD|=2\frac{b^2}{a}$$

$$|F_2M|=p=\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$$

$$\left|A F_{2}\right|=\frac{e p}{1+e \cos \theta}\\$$

$$\left|B F_{2}\right|=\frac{e p}{1-e \cos \theta}\\$$

$$\left|AB\right|=\frac{2 e p}{1-e^2 \cos^2 \theta}\\$$

$$\frac{|AF_2|}{|BF_2|}=\frac{1-e\cos \theta}{1+e\cos \theta}$$

注意，通过控制 $\theta$ 可以得出 $|AB|_{min}=2\frac{b^2}{a}$

¶ 乱七八糟

¶ 三角换元

$$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &= 1 \\ \left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2} &= 1 \end{aligned}\\$$

$${\left\{\begin{aligned} {x=a \cdot \cos \alpha} \\ {y=b \cdot \sin \alpha} \end{aligned}\right.}$$

¶ 点差法

$$\left\{\begin{aligned}{\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1} \\ {\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1}\end{aligned}\right.\\$$

$$\begin{aligned} \frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}&=-\frac{y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{b^{2}} \\ \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} \cdot \frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}&=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\\ \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}} \cdot \frac{y_0}{x_0}&=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\\ k_{A B} \cdot k_{OP}&=-\frac{b^{2}}{a^{2}} \end{aligned}\\$$

¶ 切线

$$\begin{gathered} A x^{2}+B y^{2}+C x+D y+E=0\\ A x_{0} x+B y_{0} y+C \frac{x_{0}+x}{2}+D \frac{y_{0}+y}{2}+E=0 \end{gathered}$$

¶ 整体思想

$$\begin{gathered} x_1 + kx_2 = 0\\ \frac{x_1}{x_2} = -k\\ \frac{x_2}{x_1} = -\frac{1}{k}\\ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2\\ \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=-k-\frac{1}{k}+2 \end{gathered}$$

¶ 焦点三角形

¶ 仿射变换

• 反应条件

  • 光照
    • $\ce{HClO}$
    • $\ce{Ag+}$ （除 $\ce{AgF}$）
    • $\ce{HNO3}$
    • $\ce{H2, Cl2}$
  • 放电
  • 高温
  • 催化剂，加热
    • $\ce{H2O2}$
    • $\ce{N2 + H2}$
    • $\ce{SO2 +O2}$
    • $\ce{MnO2 + KClO3}$
    • $\ce{NH3 + O2}$

• 无机物性质

  • $\ce{NH3,HCl,HNO3}$ 易挥发
  • $\ce{Mg3N2}$ 灰绿，$M=100$

• 实验

  • $\ce{KMnO4}$ 腐蚀橡胶
  • $\ce{NaOH}$ 腐蚀玻璃
  • 控制流速（气泡数），控制反应气比例（掌握仪器）

$$\ce{ NH3<=>N2<=>NO<=>NO2(红棕)<=>HNO3\\ NH3 -> NO <-HNO3 }$$

类比 $\ce{S}$，注意不可一步变成 $\ce{NO}$

$$\ce{N2 + O2 = 2NO}\\ \left\{ \begin{aligned} \ce{2NO + O2 &= 2NO2}\\ \ce{3NO2 + H2O &= 2HNO3 + NO}\\ \end{aligned} \right. \rightarrow \left\{ \begin{aligned} \ce{4NO + 3O2 + H2O &= 4HNO3}\\ \ce{4NO2 + O2 + 2H2O &= 4HNO3}\\ \end{aligned} \right.$$

$\ce{NH3,HCl,HNO3}$ 易挥发，空中反应，形成白烟

$\ce{Mg3N2}$ 灰绿，$M=100$，双水解

注意 $\ce{N2 + 3H2<=>2NH3}$ 转化率低，不会倒吸

尾气处理只要 $\ce{NO2 >NO}$ 皆可除净（所以不行就通空气（$\ce{O2}$））

$$\ce{2NO2 + 2NaOH->NaNO3 + NaNO2 + H2O}$$

$$\ce{NO2 + NO + 2NaOH->2NaNO2 + H2O}$$

¶ 氨

氢键形式 $\ce{H3N\bond{...}H\bond{1}O\bond{1}H}$

• 氧化性 $\ce{2Na + 2NH3 = 2NaNH2 + H2}$

• 强还原

  $$\ce{4NH3 + 5O2->[Pt][\Delta]4NO + 6H2O}\\$$
  $$\ce{NH3 + 3O2(纯)->[点燃]2N2 + 6H2O}\\$$
  $$\left\{ \begin{aligned} \ce{2NH3 + 3Cl2&=N2 + 6HCl}\\ \ce{8NH3 + 3Cl2&=N2 + 6NH4Cl}\\ \ce{NH3 + 3Cl2&=NCl3 + 3HCl}\\ \end{aligned} \right.$$

• 制取，平衡左移（$\ce{OH-}$），放热

  $$\ce{CaO(s) + NH3.H2O(l)->Ca(OH)2 + NH3 ^}\\$$
  $$\ce{NH3.H2O(l)->[NaOH(s)]NH3 ^ + H2O}\\$$
  $$\ce{Ca(OH)2 + 2NH4Cl -> 2NH3 ^ + CaCl2}\\$$

控制流速（气泡数），控制反应气比例（掌握仪器）

¶ 氨盐

• 白色固体
• 离子晶体
• 加热皆可分解
  • $\ce{NH3 ^}$
  • $\ce{NH4NO3 ->[\Delta]N2O + 2 H2O}$
  • $\ce{NH4NO2 ->[\Delta]N2 + 2H2O}$

¶ 硝酸

• 不稳定

  $$\ce{4HNO3_{浓} ->[光/\Delta] 4NO2 ^ + O2 ^ + 2H2O}$$

• 酸性

  • 金属 不生成 $\ce{H2}$
  • $\ce{CuO, CaCO3}$ 就像普通酸
  • 紫色石蕊，先变红，后褪色

• 强氧化

  • $\ce{HNO3_{浓} > HNO3_{稀} > H2SO4_{浓}}$

  • 金属

    • $\ce{Pt, Au}$ 不反应

      • 和王水（$\ce{HNO3:HCl} = 1:3$）反应

    • $\ce{Fe, Cu}$ 常温钝化

    • $\ce{Cu}$

      $$\ce{Cu + 4HNO3_{浓} -> Cu(NO3)2 + 2NO2 ^ + 4H2O}(会稀释)$$
      $$\ce{3Cu + 8H+ + 2NO3- -> 3Cu^{2+} + 2NO ^ + 4H2O}$$

    • 非金属

      $$\ce{C + HNO3_{浓}->[(\Delta)] 4NO2 ^ + CO2 ^ + 2H2O}$$
      $$\ce{S^{2-},SO3^{2-} > I- > Fe^{2+}>Br- >(Cl- 不会反应)}$$

• 工业制取 （2233）

  1. $\ce{NO}$ 生成 （转化器）

     $$\ce{4NH3 + 5O2 ->[Pt][\Delta] 4NO + 6H2O}$$

  2. $\ce{HNO3}$ 生成 （吸收塔）

     $$\left\{ \begin{aligned} \ce{2NO + O2 &= 2NO2}\\ \ce{3NO2 + H2O &= 2HNO3 + NO}\\ \end{aligned} \right. \rightarrow \ce{4NO + 3O2 + 2H2O = 4HNO3}\\$$