一种用化齐次解决圆锥曲线定点定值问题的方法

感谢我的老师。

基本思想是把 $y=kx+b$ 变换成 $\frac{y-kx}{b}=1$ 来代换。

¶ 引例

抛物线 $C:y^2=x$ 上有点 $A(1,1)$，过 $P(3,-1)$ 直线交 $C$ 于 $M,N$ 两点，令 $k_1=k_{AM},k_2=k_{AN}$。

试证：$k_1\cdot k_2$ 为定值。

浙江 2017 年 4 月学考

作为一个简单学考题，想必大家都是会做的。

$$k_1k_2=\frac{y_1-1}{x_1-1}\frac{y_2-1}{x_2-1}=\frac{1}{y_1y_2+y_1+y_2+1}=-\frac{1}{2}$$

讨论另一种方法

我们观察 $y^2=x$，发现可以在右侧将 $1$ 化为直线方程，使等式齐次，然后除 $x^2$，通过韦达定理得到 $k_1k_2,k_1+k_2$

但在此题中，不难发现直接除 $x^2$ 会构造出 $\frac{y}{x}$，并不是想要的 $k_1,k_2$ 故需进行换元（或者说把一部分看成整体）

考虑到 $k_1=\frac{y_1-1}{x_1-1},k_2=\frac{y_2-1}{x_2-1}$

令

$$\begin{aligned} u &= x-1\\ v &= y-1 \end{aligned}$$

设直线 $MN:u=mv+n$ 即 $\frac{u-mv}{n}=1$

对 $y^2=x$ 换元，得 $(v+1)^2=u+1$

进行代换

$$\begin{aligned} (v+1)^2 &= u+1\\ v^2+2v&=u\\ v^2=(u-2v)&=(u-2v)\frac{u-mv}{n}\\ \end{aligned}$$

整理得

$$(2m-n)v^2-(m+2)uv+u^2=0$$

同除 $u^2$

$$(2m-n)\left(\frac{u}{v}\right)^2-(m+2)\left(\frac{u}{v}\right)+1=0$$

即

$$(2m-n)k^2-(m+2)k+1=0$$

根据韦达定理，得

$$\begin{aligned} k_1+k_2&=-\frac{m+2}{2m-n}\\ k_1k_2&=\frac{1}{2m-n}\\ \end{aligned}$$

将 $P(3,1)$ 带入直线方程，得 $2=-2m+n$

所以 $k_1k_2=-1/2$

¶ 另一个例子

$E:\frac{x^2}{9}+y^2=1$，左右顶点为 $A,B$。$P$ 为直线 $x=6$ 上的动点。$PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$, $PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$。

试证：$CD$ 过定点

2020 全国一卷

我们发现题目中没有显然的 $k_1+k_2,k_1k_2$ 需要自己构造。

令 $k_{AP}=k$，不难发现 $k_{BP}=3k$

根据椭圆的性质 $k_{AC}\cdot k_{BC}=e^2-1$，可得到 $k_{BC}=-\frac{1}{9k}$

则 $k_{BC}\cdot k_{BD} = -1/3$

成功构造出了引例中的结构

接下来就是换元，设直线，根据韦达定理得到直线方程参数的关系，得到定点 $(\frac{3}{2},0)$。