简谐运动

¶ 简单情况

先考虑最简单的情况，平衡位置为 $x=0$，振幅为 $A$，质点质量为 $m$，弹簧劲度系数为 $k$，从平衡位置起振。

由运动学规律得

$$\def\d{\mathrm{d}} \begin{aligned} x(t)&=A\sin\omega t\\ v(t)&=\frac{\d x}{\d t} = A\omega\cos\omega t\\ a(t)&=\frac{\d v}{\d t} = -A\omega^2\sin\omega t\\ \end{aligned}\\$$

由力学规律得

$$a(t)= \frac{F(t)}{m}= \frac{-kx(t)}{m} = \frac{-kA\sin\omega t}{m}$$

故

$$\begin{aligned} -A\omega^2&=-\frac{kA}{m}\\ k&=m\omega^2\\ k&=m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\\ \omega&=\sqrt{\frac{k}{m}}\\ T&=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \end{aligned}$$

可得简单推论

$$v = A\omega\tag{1}$$

注意到质点在单位圆上做匀速圆周运动，它 $x$ 轴投影符合 $x=A\cos t$。

故可以将简谐运动想象成角速度为 $\omega$ 的匀速圆周运动的投影。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}kA^2&=\frac{1}{2}m\omega^2A^2\\ &=\frac{1}{2}mv^2\tag{2} \end{aligned}$$

振动动能和振动势能之和始终为 $kA^2/2$，在弹簧情景下是容易理解的。

¶ 也简单的情况

假定斜面倾角为 $\theta$，初始时弹簧自然伸长，劲度系数为 $k$，质点质量为 $m$。

$$\begin{gathered} G=mg\sin\theta\\ \begin{aligned} F&=-kx+G\\ &=-k\left(x-\frac{G}{k}\right)\\ \end{aligned} \end{gathered}$$

故此时

$$A=\frac{G}{k}\\$$

并且

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\\$$

也就是说，只要力的变化是随位移线性的，且另外只受一个恒力，则质点做简谐运动。

¶ 几个题

倾角为 $\theta=30\degree$、宽 $d=0.1\text{m}$ 的斜面导轨，上有 $m=0.1\text{kg}$ 金属棒，通过恒定电流 $I$，受沿斜面向上安培力。磁场垂直导轨，满足 $B=2x\,\text{T}$。金属棒从 $x=0$ 释放，振幅为 $A=1.25\text{m}$。

求 $t=0$ 到 $t=T/4$ 时间安培力冲量。

$$\begin{gathered} k = G/A = mg\sin\theta/A=0.4\\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=2\\ I = p_1 - p_0 = m\omega A = 0.25\\ I_G=mg\sin\theta \cdot \frac{T}{4}=\frac{\pi}{8}\\ I_I = I - I_G = \frac{2-\pi}{8} \end{gathered}$$

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倾角为 $\theta$、宽 $l$ 的斜面导轨，有垂直斜边大小为 $B$ 的磁场，末端接有电感为 $L$ 的电感线圈。电阻均不计。

静止释放金属棒，求金属棒滑行的最大距离 $x_m$。

已知电感 $E=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$

由于无电阻，所以金属棒电动势等于电感电动势。

$$\begin{aligned} E=E'&=Blv=L\frac{\Delta I}{\Delta t}\\ Blv\Delta t &= L\Delta I\\ \int Blv\mathrm{d}t&=\int L\mathrm{d}I\\ Blx &= LI\\ I &= \frac{Blx}{L}\\ \end{aligned}$$

易得

$$\begin{aligned} F = BIl &= \frac{B^2l^2}{L}x\\ k &= \frac{B^2l^2}{L}\\ G &= mg\sin\theta\\ A = G/k &= \frac{mgL\sin\theta}{B^2l^2} \end{aligned}$$

$x_m=2A=\frac{2mgL\sin\theta}{B^2l^2}$

¶ 电磁振荡

由于高中考察定性，所以就随便写了。

电容器电压为 $U$，电路电流为 $I$，感应电动势为 $E$，磁场强度为 $B$

$$\begin{aligned} U&=\cos t\\ I&=\sin t\\ E&= I' = \cos t\\ B&=\sin t\\ U^2 &+ B^2 = 1 \end{aligned}\\$$